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赵县，隶属于河北省石家庄市，古称赵州，地处石家庄市区东南40公里，总面积为675平方公里，总人口61.3万（2017年），辖11个乡镇、281个行政村。县府驻赵州镇。汉为平棘县，晋为赵国，北魏置赵郡，曾为赵州治，隋改为赵州。1913年改为赵县。赵县历史悠久，文物众多，共有文物保护单位21处。

县境位于河北平原，光热充足，地下水丰富，利于井灌，又有石津渠灌溉之利，一年四季分明，春秋两季时间短，夏冬两季时间长。东部为沙质褐土，适于雪花梨生长。赵县农业发达，玉米、小麦是主要粮食产品。特产雪花梨俗称象牙梨，个大，皮薄、汁多、含糖分高，成熟后洁白如雪，故名，是河北省大宗出口的优质水果之一。

2018年12月27日，经河北省人民政府研究，同意灵寿县、赵县、阳原县县城为河北省园林县城。 [1]  2019年3月，被列为第一批革命文物保护利用片区分县名单。

9.4　无向图的连通分支

我们可以将任意无向图分解为一个或多个连通分支（connected component）。连通分支是节点的集合，分支的任意成员之间都是存在路径的。此外，连通分支是极大的，也就是说，连通分支中的节点没有与分支外的任意节点连接的路径。如果图是由单个连通分支组成的，那么就说该图是连通图。

连通分支的物理解释

如果给定了绘制出的无向图，就很容易看出连通分支。将边想象成弦。如果拿起任一节点，包含该节点作为成员的连通分支就会随之而来，而其他连通分支中的成员则会待在原地。当然，这些“眼球”很容易完成的任务让计算机完成起来却不一定很容易。找出图中连通分支的算法是本节的重要主题。

示例 9.12

再次考虑图9-4中有关夏威夷群岛的图。其中含有3个连通分支，分别对应3个岛。最大的分支是由拉耶（Laie）、卡内奥赫（Kaneohe）、檀香山（Honolulu）、珍珠城（Pearl City）、迈里（Maili）和瓦西阿瓦（Wahiawa）组成的。这些城市都是在瓦胡岛上，而且它们显然是由公路（也就是边的路径）相互连接。还有，瓦胡岛上的公路是没法连接到其他岛的。按照图论的说法就是，在图9-4中，不存在从上面提到的这6个城市到其他城市的路径。

第二个分支是由毛伊岛上的城市拉海纳（Lahaina）、卡胡卢伊（Kahului）、哈纳（Hana）和凯奥凯阿（Keokea）组成的。第三个分支是夏威夷“大岛”上的城市希洛（Hilo）、科纳（Kona）和卡姆埃拉（Kamuela）。

9.4.1　作为等价类的连通分支

另一种看待连通分支的实用方式就是将其视为等价关系P 上的等价类，其中P 是定义在无向图节点上的关系，当且仅当存在从u 到v 的路径时有uPv。很容易验证P 是等价关系。

1. P 是自反的，也就是说，对任意节点u 有uPu，因为从任意节点到其自身都有长度为0的路径。

2. P 是对称的。如果uPv，那么存在从u 到v 的路径。因为该图是无向图，所以相反的节点序列也是路径。因此有vPu。

3. P 是传递的。假设uPw 和wPv 都成立，那么存在从u 到w 的路径，比方说是

(x1,x2，…，xj )

这里有u=x1且w=xj 。还有，存在从w 到v 的路径(y1,y2,…,yj )，其中w=y1而且v=yj 。如果将这些路径连接在一起，就得到了从u 到v 的路径，即

(u =x1,x2,…,xj =w =y1,y2,…,yk =v )

示例 9.13

考虑图9-10中从檀香山到迈里的路径(檀香山，珍珠城，瓦西阿瓦，迈里)。再考虑该图中从迈里到拉耶的路径(迈里，珍珠城，瓦西阿瓦，拉耶)。如果将这两条路径连在一起，就得到了从檀香山到拉耶的路径：

(檀香山，珍珠城，瓦西阿瓦，迈里，珍珠城，瓦西阿瓦，拉耶)

这条路径刚好是条环路。正如在9.2节中提过的，我们总是能删除环路得到无环路径。在这种情况下，要消除环路，一种方法就是将两个瓦西阿瓦以及它们之间的节点用一个瓦西阿瓦替代，得到从檀香山到拉耶的无环路径

(檀香山，珍珠城，瓦西阿瓦，拉耶)

因为P 是等价关系，所以它把问题中无向图节点的集合分成了等价类。包含节点v 的类就是满足vPu 的所有节点u 的集合。此外，等价类的其他属性还有，如果节点u 和v 在不同的等价类中，那么不可能有uPv，也就是说不存在从一个等价类中的某节点到另一等价类中节点的路径。因此，由“路径”关系P 定义的各等价类就是该图的各连通分支。

9.4.2　计算连通分支的算法

假设我们想构建图G 的连通分支。一种方式是从G 中没有边的节点组成的图G0开始。然后考虑G 的边，一次一条，构建一系列的图G0、G1、…，其中Gi 是由G 的节点和G 的前i 条边构成的。

依据。G0是由G 中没有边的节点组成。每个节点本身是一个分支。

归纳。假设在考虑了前i 条边后得到了图Gi 的连通分支，现在考虑第i+1条边：{u，v }。

1. 如果u 和v 在Gi 的同一分支中，那么Gi+1有着与Gi 相同的连通分支集合，因为这条新的边不会连接到任何尚未连通的节点。

2. 如果u 和v 在不同分支中，我们可以合并包含u 和v 的分支，得到Gi+1的连通分支。图9-13解释了为什么存在从u 所在分支中任一节点x 到v 所在分支中任一节点y 的路径。我们沿着第一个分支中从x 到u 的路径走，然后到边{u，v }，最后经过已知存在于第二个分支中的从v 到y 的路径。

当以这种方式考虑过所有的边时，就得到了全图的连通分支。

图 9-13　添加连接了含u 的分支与含v 的分支的边{u，v }

示例 9.14

来考虑一下图9-4中的图。虽然我们能够以任意次序考虑这些边，不过为了9.5节中某一算法的需要，在这里按照边标号从小到大的次序列出了这些边。边的列表如图9-14所示。

首先，所有13个节点都在它们各自的分支中。当考虑1号边{卡内奥赫，檀香山}时，我们就将这两个节点合并到了一个分支中。而第二条边{瓦西阿瓦，珍珠城}则合并了这两个城市。第三条边是{珍珠城，檀香山}，这条边把包含这两个城市的分支合并了。至此，这些分支各含两个城市，所以就有了具有4个城市的分支，即{瓦西阿瓦，珍珠城，檀香山，卡内奥赫}。而所有其他城市都还在它们自己的分支中。

图 9-14　以标号为次序的图9-4中的边

4号边是{迈里，瓦西阿瓦}，并且将迈里添加到大分支中。第5条边是{卡胡卢伊，凯奥凯阿}，它将这两个城市合并到一条分支中。当考虑6号边{迈里，珍珠城}时，我们看到了新现象：这条边的两端已经存在于相同的分支中。因此我们不再合并6号边。

7号边是{拉海纳，卡胡卢伊}，它将节点拉海纳添加到了分支{卡胡卢伊，凯奥凯阿}上，形成了分支{拉海纳，卡胡卢伊，凯奥凯阿}。而8号边则将拉耶添加到了最大的分支上，最大分支现在就成了：

{拉耶，卡内奥赫，檀香山，珍珠城，瓦西阿瓦，迈里}

第九条边{拉耶，瓦西阿瓦}连接了该分支中的两个城市，因此被忽略掉。

10号边将卡姆埃拉和科纳组成一条分支，而且11号边为这一分支添加了希洛。12号边则将哈纳添加到了{拉海纳，卡胡卢伊，凯奥凯阿}这一分支中。最后，13号边{希洛，科纳}连接的是已经存在于同一分支中的两个城市。因此，最后总共有如下几个连通分支。

{拉耶，卡内奥赫，檀香山，珍珠城，瓦西阿瓦，迈里}

{拉海纳，卡胡卢伊，凯奥凯阿，哈纳}

{卡姆埃拉，希洛，科纳}

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